细说古典概型的特征和概率计算公式
潘桂兰
【内容摘要】首先从理论上详细解读古典概型的特征、概率计算公式以及怎样建立概率模型;然后具体指出在理解、认识上应注意的几个问题;最后结合举例剖析,具体阐明古典概型的解题应用。
【关键词】古典概型;特征;概率;基本事件
一、要点精讲
1.古典概型的特征
(1)对于什么样的随机试验,可以根据试验结果的对称性来确定随机事件发生的概率?
答:该随机试验应同时满足以下两个特点:①出现的结果必须是有限个;②出现的结果的可能性必须是相等的。
(2)古典概型具有如下两个特征:
①试验的所有可能结果只有有限个,而且每次试验只出现其中的一个结果;②每一个试验结果出现的可能性相同。
2.古典概型的概率计算公式
(1)基本事件:一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。
(2)概率公式:如果一次试验所有可能出现的结果有n个(即此试验由n个基本事件组成),而且所有结果出现的可能性相等,那么每一个基本事件的概率都是1/n。
如果某个事件A包含的结果有m个(即包含的基本事件有m个),那么事件A的概率为P(A)=m/n,这就是古典概型的概率计算公式。
(3)对于古典概型,如何计算某个事件A的概率?
答:①分析一次试验由多少个基本事件组成(即求n=?);②分析某个事件A包含多少个基本事件(即求m=?);③利用公式P(A)=m/n,即可求得某个事件A的概率。
3.建立概率模型
(1)建立一个古典概型时,应注意哪些问题?
答:将什么看作是一个基本事件,是人为规定的,并不绝对化.每次试验有一个并且只有一个基本事件出现.基本事件的总个数是有限的,并且它们的发生是等可能的。
(2)当基本事件的总个数n较小时,计算n和m(某事件A包含的基本事件的个数)取值的最基本而且最有效的方法是什么?
答:先通过画树状图,直观地将所有可能的试验结果一一列举出来;然后数一数,即知n和m的取值;最后利用公式P(A)=m/n,即可求得事件A的概率。
(3)如何优化古典概型?
答:要注重发散思维,多从不同的角度去考虑一个实际问题;同时应注意建立的模型要使试验的所有可能结果数变得尽可能地少,从而问题的解决也就变得尽可能地简单。
二、特别提醒
(A)=m/n,既是古典概型的概率的定义,又是计算这种概率的基本方法.在运用这个公式时,要注意:必须判断这几种结果是等可能出现的.例如:先后抛掷两枚均匀的一元硬币,若认为只出现“2个正面”、“2个反面”和“1正1反”这3种结果,那就不会等可能.正确理解:共出现“正正”、“正反”、“反正”和“反反”这4种等可能的结果。
2.教材第167页例2的解法4应引起高度重视。该解法的切入点是:优先考虑目标问题的约束条件,至于其他的情形可以不考慮,这是因为概率本身是一个比值。
三、典例剖析
例1:一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球,从中摸出2个球。
(1)具体指出共有多少种不同的结果?
(2)具体指出“摸出1白1黑”共有多少种不同的结果?
(3)求“摸出1白1黑”的概率。
解析:
(1)共有6种不同的结果,分别是:(白,黑1),(白,黑2),(白,黑3),(黑1,黑2),(黑1,黑3),(黑2,黑3)。
(2)共有3种不同的结果,分别是:(白,黑1);(白,黑2);(白,黑3)。
(3)由于4个球的大小相等,因此做一次试验(即:摸出2个球)所出现的各种不同结果的可能性是相同的,这个试验属于古典概型。
又由(1)知基本事件共有6个,由(2)知事件“摸出1白1黑”共包含3个基本事件.故“摸出1白1黑”的概率为P=3/6=1/2。
评注:在罗列不同的结果时,要注意考虑全面,努力做到不重复不遗漏。
例2:袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个,现摸球3次,每次都是有放回地随机摸取一个球。
(1)试问:一共有多少种不同的结果?请列出所有可能的结果
(2)若摸到红球时得2分,摸到黑球时得1分,求3次摸球所得分为5的概率。
解析:
(1)一共有8种不同的结果,列举如下:(红,红,红),(红,红,黑,),(红,黑,红),(黑,红,红),(红,黑,黑),(黑,红,黑),(黑,黑,红),(黑,黑,黑)。
(2)记“3次摸球所得总分为5”为事件A,则事件A包含的基本事件共有3个,分别为(红,红,黑),(红,黑,红),(黑,红,红)。
又由(1)知基本事件总数为8,故所求概率为P(A)=3/8。
评注:本题极易出错,审清题意非常重要——由于题设要求“每次都是有放回地随机摸取一个球”,所以每次摸取时的情景相同(袋中有1个红球、1个黑球)。
例3:将一个骰子抛掷2次,求“两次掷出的点数都是偶数”的概率。
解析:当第一次掷出的点数为a(a=1,2,3,4,5,6)时,第二次掷出的点数只可能是1,2,3,4,5,6中的某一个,从而做一次试验所得到的基本事件共有6×6=36个。
要使两次掷出的点数都是偶数,则应满足:当第一次掷出的点数为偶数b(b=2,4,6)时,第二次掷出的点数只可能是2,4,6中的某一个.从而知事件“两次掷出的点数都是偶数”共包含3×3=9个基本事件.又易知此试验属于古典概型,故所求概率为P=9/36=1/4。
评注:考查基本事件的个数常用处理方法有:①先按点坐标的形式给出,再数之;②先按表格的形式给出,再数之;③规律性较强时,可通过乘法运算迅速求得(例如本题)。
【参考文献】
[1]林品吟,何小亚,朱源.古典概型的教学思考与教学新设计[J].中学数学杂志,2016(5):
[2]宫前长.新课程古典概型教学:困惑、解惑与感悟[J].中学数学,2014(9):
(作者单位:甘肃省玉门市第一中学)
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【内容摘要】首先从理论上详细解读古典概型的特征、概率计算公式以及怎样建立概率模型;然后具体指出在理解、认识上应注意的几个问题;最后结合举例剖析,具体阐明古典概型的解题应用。
【关键词】古典概型;特征;概率;基本事件
一、要点精讲
1.古典概型的特征
(1)对于什么样的随机试验,可以根据试验结果的对称性来确定随机事件发生的概率?
答:该随机试验应同时满足以下两个特点:①出现的结果必须是有限个;②出现的结果的可能性必须是相等的。
(2)古典概型具有如下两个特征:
①试验的所有可能结果只有有限个,而且每次试验只出现其中的一个结果;②每一个试验结果出现的可能性相同。
2.古典概型的概率计算公式
(1)基本事件:一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。
(2)概率公式:如果一次试验所有可能出现的结果有n个(即此试验由n个基本事件组成),而且所有结果出现的可能性相等,那么每一个基本事件的概率都是1/n。
如果某个事件A包含的结果有m个(即包含的基本事件有m个),那么事件A的概率为P(A)=m/n,这就是古典概型的概率计算公式。
(3)对于古典概型,如何计算某个事件A的概率?
答:①分析一次试验由多少个基本事件组成(即求n=?);②分析某个事件A包含多少个基本事件(即求m=?);③利用公式P(A)=m/n,即可求得某个事件A的概率。
3.建立概率模型
(1)建立一个古典概型时,应注意哪些问题?
答:将什么看作是一个基本事件,是人为规定的,并不绝对化.每次试验有一个并且只有一个基本事件出现.基本事件的总个数是有限的,并且它们的发生是等可能的。
(2)当基本事件的总个数n较小时,计算n和m(某事件A包含的基本事件的个数)取值的最基本而且最有效的方法是什么?
答:先通过画树状图,直观地将所有可能的试验结果一一列举出来;然后数一数,即知n和m的取值;最后利用公式P(A)=m/n,即可求得事件A的概率。
(3)如何优化古典概型?
答:要注重发散思维,多从不同的角度去考虑一个实际问题;同时应注意建立的模型要使试验的所有可能结果数变得尽可能地少,从而问题的解决也就变得尽可能地简单。
二、特别提醒
(A)=m/n,既是古典概型的概率的定义,又是计算这种概率的基本方法.在运用这个公式时,要注意:必须判断这几种结果是等可能出现的.例如:先后抛掷两枚均匀的一元硬币,若认为只出现“2个正面”、“2个反面”和“1正1反”这3种结果,那就不会等可能.正确理解:共出现“正正”、“正反”、“反正”和“反反”这4种等可能的结果。
2.教材第167页例2的解法4应引起高度重视。该解法的切入点是:优先考虑目标问题的约束条件,至于其他的情形可以不考慮,这是因为概率本身是一个比值。
三、典例剖析
例1:一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球,从中摸出2个球。
(1)具体指出共有多少种不同的结果?
(2)具体指出“摸出1白1黑”共有多少种不同的结果?
(3)求“摸出1白1黑”的概率。
解析:
(1)共有6种不同的结果,分别是:(白,黑1),(白,黑2),(白,黑3),(黑1,黑2),(黑1,黑3),(黑2,黑3)。
(2)共有3种不同的结果,分别是:(白,黑1);(白,黑2);(白,黑3)。
(3)由于4个球的大小相等,因此做一次试验(即:摸出2个球)所出现的各种不同结果的可能性是相同的,这个试验属于古典概型。
又由(1)知基本事件共有6个,由(2)知事件“摸出1白1黑”共包含3个基本事件.故“摸出1白1黑”的概率为P=3/6=1/2。
评注:在罗列不同的结果时,要注意考虑全面,努力做到不重复不遗漏。
例2:袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个,现摸球3次,每次都是有放回地随机摸取一个球。
(1)试问:一共有多少种不同的结果?请列出所有可能的结果
(2)若摸到红球时得2分,摸到黑球时得1分,求3次摸球所得分为5的概率。
解析:
(1)一共有8种不同的结果,列举如下:(红,红,红),(红,红,黑,),(红,黑,红),(黑,红,红),(红,黑,黑),(黑,红,黑),(黑,黑,红),(黑,黑,黑)。
(2)记“3次摸球所得总分为5”为事件A,则事件A包含的基本事件共有3个,分别为(红,红,黑),(红,黑,红),(黑,红,红)。
又由(1)知基本事件总数为8,故所求概率为P(A)=3/8。
评注:本题极易出错,审清题意非常重要——由于题设要求“每次都是有放回地随机摸取一个球”,所以每次摸取时的情景相同(袋中有1个红球、1个黑球)。
例3:将一个骰子抛掷2次,求“两次掷出的点数都是偶数”的概率。
解析:当第一次掷出的点数为a(a=1,2,3,4,5,6)时,第二次掷出的点数只可能是1,2,3,4,5,6中的某一个,从而做一次试验所得到的基本事件共有6×6=36个。
要使两次掷出的点数都是偶数,则应满足:当第一次掷出的点数为偶数b(b=2,4,6)时,第二次掷出的点数只可能是2,4,6中的某一个.从而知事件“两次掷出的点数都是偶数”共包含3×3=9个基本事件.又易知此试验属于古典概型,故所求概率为P=9/36=1/4。
评注:考查基本事件的个数常用处理方法有:①先按点坐标的形式给出,再数之;②先按表格的形式给出,再数之;③规律性较强时,可通过乘法运算迅速求得(例如本题)。
【参考文献】
[1]林品吟,何小亚,朱源.古典概型的教学思考与教学新设计[J].中学数学杂志,2016(5):
[2]宫前长.新课程古典概型教学:困惑、解惑与感悟[J].中学数学,2014(9):
(作者单位:甘肃省玉门市第一中学)
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